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【題目】已知函數,其中.

(1)求函數的單調遞增區間;

(2)若函數上有且只有一個零點,求實數的取值范圍.

【答案】1)詳見解析;(2.

【解析】

試題(1)先求函數的定義域與導數,對是否在定義域內以及在定義域內與進行大小比較,從而確定函數的單調區間;(2)在(1)的條件下結合函數的單調性與零點存在定理對端點值或極值的正負進行限制,從而求出參數的取值范圍.

試題解析:(1)函數定義域為

,即時,

,得,函數的單調遞減區間為

,得,函數的單調遞增區間為

,即時,

,得,函數的單調遞增區間為

,得,函數的單調遞減區間為

,即時,恒成立,函數的單調遞增區間為

2時,由(1)可知,函數的單調遞減區間為單調遞增,

所以上的最小值為

由于

要使上有且只有一個零點,

需滿足,解得

所以當時,上有且只有一個零點;

時,由(1)可知,函數上單調遞增,

所以當時,上有且只有一個零點;

時,由(1)可知,函數內單調遞增,在上單調遞減,在上單調遞增,

又因為,所以當時,總有

因為

所以

所以在區間內必有零點,

又因為內單調遞增,

從而當時,上有且只有一個零點,

綜上所述,當時,上有且只有一個零點.

練習冊系列答案
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A. 是偶數?,? B. 是奇數?,?

C. 是偶數?, ? D. 是奇數?,?

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