Question

【題目】如圖，在四棱錐中，，，，，，．

（1）求證：平面平面；

（2）若為的中點，求證：平面；

（3）若與平面所成的角為，求四棱錐的體積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

(1)先證明平面，再證明平面平面．（2）先證明，再證明平面.(3) 建立空間直角坐標系,利用向量法求得，即得a=1,再求四棱錐的體積.

（1）因為，所以，

又因為，所以平面．

所以平面平面．

（2）取的中點，連接，．

因為為的中點，所以，，

又因為，，

所以，．

所以四邊形是平行四邊形，．

又平面，平面，

所以平面．

（3）過作于，連接．

因為，所以為中點，又因為平面平面，

所以平面．

如圖建立空間直角坐標系．

設．由題意得，，，，，．

所以 ， ， ．

設平面的法向量為，則

即

令，則．所以．

因為與平面所成角為，

所以,

解得．

所以四棱錐的體積．