Question

ABCD為平行四邊形，P為平面ABCD外一點，PA⊥面ABCD，且PA=AD=2，AB=1，AC=．
（1）求證：平面ACD⊥平面PAC；
（2）求異面直線PC與BD所成角的余弦值；
（3）設二面角A-PC-B的大小為θ，試求tanθ的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中，PA⊥面ABCD，結合面面垂直的判定定理，我們易得平面ACD⊥平面PAC；
（2）令AC與BD交點為O，PA的中點為E，連接OE，則OE∥PC，則直線PC與BD所成角等于直線OE與BD所成角，解三角形OEB，即可得到答案．
（3）A作AE⊥PC交PC于E，過E作EF⊥PC交PB于F，連接AE．則二面角A-PC-B的平面角為∠AEF，解三角形AEF，即可得到答案．
解答：證明：（1）∵PA⊥面ABCD，
PA?平面PAC
∴平面ACD⊥平面PAC；
解：（2）令AC與BD交點為O，PA的中點為E，連接OE，BE如圖所示：

∵O為BD的中點，則EO=PC==，且OE∥PC
又∵PA⊥面ABCD，且PA=AD=2，AB=1，AC=．
∴OB=BD=，BE=
∴|cos∠EOB|==；
即異面直線PC與BD所成角的余弦值為；
（3）過A作AE⊥PC交PC于E，過E作EF⊥PC交PB于F，連接AE．則二面角A-PC-B的平面角為∠AEF即∠AEF=θ．
在Rt△APC中，PC=，∴，
在△PBC中，PB=，BC=2，∴，
在Rt△PEF中，，∴
在△PAF中，PF=，∴AF=1，
在△AEF中，，∴
點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，異面直線及其所成的角，二面角的平面角及求示，其中求二面角，關鍵是要找到二面角的平面角，將空間問題轉化為一個平面解三角形的問題．