Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O為AC中點，PO⊥平面ABCD，PO=2，M為PD中點．
（Ⅰ）證明：PB∥平面ACM；
（Ⅱ）證明：AD⊥平面PAC；
（Ⅲ）求直線AM與平面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

分析：（I）由O為AC中點，M為PD中點．結合平行四邊形的對角線性質，考慮連接BD，MO，則有PB∥MO，從而可證
（II）由∠ADC=45°，且AD=AC=1，易得AD⊥AC，PO⊥AD，根據線面垂直的判定定理可證
（III）取DO中點N，由PO⊥平面ABCD，可得MN⊥平面ABCD，從而可得∠MAN是直線AM與平面ABCD所成的角．在Rt△ANM中求解即可

解答：解：（I）證明：連接BD，MO
在平行四邊形ABCD中，因為O為AC的中點，
所以O為BD的中點，又M為PD的中點，所以PB∥MO
因為PB?平面ACM，MO?平面ACM
所以PB∥平面ACM
（II）證明：因為∠ADC=45°，且AD=AC=1，所以∠DAC=90°，即AD⊥AC
又PO⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，所以PO⊥AD，AC∩PO=O，AD⊥平面PAC
（III）解：取DO中點N，連接MN，AN
因為M為PD的中點，所以MN∥PO，且MN=

1

2

PO=1，由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD
所以∠MAN是直線AM與平面ABCD所成的角．
在Rt△DAO中，AD=1，AO=

1

2

，所以DO=

5

2

，
∴AN=

1

2

DO=

5

4

，MN=

1

2

PO=1
在Rt△ANM中，tan∠MAN=

MN

AN

=

1

5 4

=

4 5

5

即直線AM與平面ABCD所成的正切值為

4 5

5

點評：本題主要考查直線與平面平行、直線與平面垂直、直線與平面所成的角等基礎知識，考查空間想象能力、運算能力、推理論證能力．