Question

已知中心在原點O，焦點在x軸上的橢圓E過點（1，

3

2

），離心率為

1

2

．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）直線x+y+1=0與橢圓E相交于A、B（B在A上方）兩點，問是否存在直線l，使l與橢圓相交于C、D（C在D上方）兩點且ABCD為平行四邊形，若存在，求直線l的方程與平行四邊形ABCD的面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用橢圓的定義和離心率的計算公式即可得出；
（Ⅱ）利用橢圓的對稱性可知存在滿足題意的平行四邊形，利用弦長公式和點到直線的距離公式即可求出其面積．

解答：解：（Ⅰ）設橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），由題意可得

1 a2 + 9 4b2 =1 a2-b2 a2 = 1 4

解得a²=4，b²=3．
∴橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）如圖所示，由于直線x+y+1=0過橢圓的左焦點F₁（-1，0），且斜率為-1，由對稱性可知，存在直線l過橢圓的右焦點F₂（1，0），
且斜率為-1的直線l：x+y-1=0符合題意．
直線x+y+1=0與直線x+y-1=0的距離為d=

|-1-1|

2

=

2

．
聯立

x+y-1=0 x2 4 + y2 3 =1

得7x²-8x-8=0．
設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則x₁+x₂=

8

7

，x₁x₂=-

8

7

．
∴|CD|=

(1+1)[( 8 7 )2-4×(- 8 7 )]

=

24

7

．
故平行四邊形ABCD的面積S=

24

7

×

2

=

24 2

7

．

點評：熟練掌握橢圓的定義和離心率的計算公式、橢圓的對稱性、弦長公式和點到直線的距離公式是解題的關鍵．