Question

【題目】已知數列滿足， ，（ N*）.

（Ⅰ）寫出的值；

（Ⅱ）設，求的通項公式；

（Ⅲ）記數列的前項和為，求數列的前項和的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）;（Ⅲ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）根據遞推關系式寫出前六項即可；（Ⅱ）利用等差數列定義證明是等差數列，并寫出其通項公式；（Ⅲ）根據等差數列的性質寫出，再證出是等比數列，寫出通項公式，可知當時項是非正的，從而得其最小值.

試題解析：（Ⅰ） ， ；

（Ⅱ）設， 則，

所以是以1為首項，2為公差的等差數列，所以.

（Ⅲ）解法1： ， ，

所以是以1為首項， 為公差的等差數列，所以數列的前n個奇數項之和為，由（Ⅱ）可知， ，

所以數列的前n個偶數項之和為.

所以，所以.

因為，且

所以數列是以為首項， 為公差的等差數列.

由可得，

所以當或時，數列的前項和的最小值為.