Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，對(duì)任意n∈N^*都有Sn=n2+n
（Ⅰ）求證數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，并求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若b_n=

1

an•an+1

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）再寫一式，兩式相減得a_n=2n，驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2也滿足上式，可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）利用裂項(xiàng)法可求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答：解：（Ⅰ）由S_n=n²+n（n∈N^*）．①
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=（n-1）²+n-1②
①-②得a_n=2n
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2也滿足上式，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2n；
（Ⅱ）b_n=

1

an•an+1

=

1

4n(n+1)

=

1

4

（

1

n

-

1

n+1

）
∴S_n=

1

4

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）=

n

4n+4

．

點(diǎn)評(píng)：本題以數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n為載體，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查裂項(xiàng)法求數(shù)列的和，屬于中檔題．