Question

（2012•奉賢區二模）如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AB=AC=1，AB⊥AC，M是CC₁的中點，N是BC的中點，點P在直線A₁B₁上，且滿足

A1P

=λ

A1B1

．
（1）當λ取何值時，直線PN與平面ABC所成的角θ最大；
（2）在（1）的條件下，求三棱錐P-MNC的體積．

Answer 1

分析：（1）建立空間直角坐標系，利用向量的夾角公式，求出直線PN與平面ABC所成的角，即可求得結論．
（2）求出點P到平面B₁BCC₁的距離，S_△CMN，即可求得三棱錐P-MNC的體積．

解答：解：（1）如圖，以AB，AC，AA₁分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系A-xyz，則P（λ，0，1），

PN

=(

1

2

-λ，

1

2

，-1)平面ABC的一個法向量為

n

=（0，0，1）
∴sinθ=|

PN • n

| PN || n |

|=

1

(λ- 1 2 )2+ 5 4

∴當λ=

1

2

時，（sinθ）_max=

2 5

5

，此時角θ最大為arcsin

2 5

5

；
（2）平面B₁BCC₁的法向量

m

=（

1

2

，

1

2

，0），
∴點P到平面B₁BCC₁的距離d=

| PN • m |

| m |

=

2

4

∵S_△CMN=

1

2

×

2

2

×

1

2

=

2

8

∴V_P-CMN=

1

3

×

2

8

×

2

4

=

1

48

．

點評：利用向量知識解決立體幾何問題的優點在于用代數化的方法解決立體幾何，解題的關鍵在于用坐標表示空間向量，熟練掌握向量夾角公式