Question

（2012•奉賢區二模）已知函數f(x)=

3

sin2x+sinxcosx，x∈[

π

2

， π]．
（Ⅰ）求方程f（x）=0的根；
（Ⅱ）求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（I）根據函數是一個齊次式，利用二倍角公式進行化簡，再利用兩角和與差的正弦公式化簡成Asin（ωx+φ）+B的形式，最后解三角方程即可；
（II）根據（I）化簡得到的函數解析式可直接求出函數的最值，特別要注意定義域．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

3

2

(1-cos2x)+

1

2

sin2x=sin(2x-

π

3

)+

3

2

．
令f（x）=0，得 sin(2x-

π

3

)=-

3

2

．
因為x∈[

π

2

， π]，所以2x-

π

3

∈[

2π

3

， 

5π

3

]．…（4分）
所以，當2x-

π

3

=

4π

3

，或2x-

π

3

=

5π

3

時，f（x）=0．
即 x=

5π

6

或x=π時，f（x）=0．
綜上，函數f（x）的零點為

5π

6

或π．…（10分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
當2x-

π

3

=

2π

3

，即x=

π

2

時，f（x）的最大值為

3

；
當2x-

π

3

=

3π

2

，即x=

11π

12

時，f（x）的最小值為-1+

3

2

．…（12分）

點評：本題主要考查了兩角和與差的正弦函數，以及正弦函數的值域，同時考查了計算能力和轉化的能力，屬于中檔題．