Question

關于曲線x³-y³+9x²y+9xy²=0，有下列命題：
①曲線關于原點對稱；
②曲線關于x軸對稱；
③曲線關于y軸對稱；
④曲線關于直線y=x對稱；
其中正確命題的序號是

①

．

Answer 1

分析：設（a，b）點在曲線上，則（a，b）點滿足方程x³-y³+9x²y+9xy²=0，然后判定（a，-b），（-a，b），（-a，-b），（b，a）是否在曲線x³-y³+9x²y+9xy²=0上，從而得到結論．

解答：解：若（a，b）點在曲線C：x³-y³+9x²y+9xy²=0上，則a³-b³+9a²b+9ab²=0，
令x=a，y=-b，則a³+b³-9a²b+9ab²=0，故點（a，-b）不在曲線C上，即不關于x軸對稱；
令x=-a，y=b，則-a³-b³+9a²b-9ab²=0，故點（-a，b）不在曲線C上，即不關于y軸對稱；
令x=-a，y=-b，則-a³+b³-9a²b-9ab²=0，即a³-b³+9a²b+9ab²=0，故點（-a，-b）在曲線C上，即關于原點對稱；
令x=b，y=a，則b³-a³+9a²b+9ab²=0，故點（b，a）不在曲線C上，即不關于直線y=x對稱；
其中正確命題的序號是 ①．
故答案為：①．

點評：本題主要考查的知識點是曲線的對稱性，當（a，b）點在曲線上時，（-a，-b）點也在曲線上，則曲線關于原點對稱；當（a，b）點在曲線上時，（-a，b）點也在曲線上，則曲線關于y軸對稱；當（a，b）點在曲線上時，（a，-b）點也在曲線上，則曲線關于x軸對稱；當（a，b）點在曲線上時，（b，a）點也在曲線上，則曲線關于直線x-y=0對稱；當（a，b）點在曲線上時，（-b，-a）點也在曲線上，則曲線關于直線x-y=0對稱，屬于基礎題．