【題目】已知橢圓
中心在原點，焦點在坐標軸上，直線
與橢圓在第一象限內的交點是
，點在
軸上的射影恰好是橢圓的右焦點
，橢圓另一個焦點是
，且
.
（1）求橢圓的方程；
（2）直線
過點
，且與橢圓交于
兩點，求
的內切圓面積的最大值.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
（1）利用將
點的橫坐標
代入直線
，求得點的坐標，代入
的坐標運算，求得的值，也即求得點的坐標，將的坐標代入橢圓，結合
，解方程組求得
的值，進而求得橢圓方程.（2）設出直線
的方程，聯立直線的方程和橢圓的方程并寫出根與系數關系，由此求得
的面積，利用導數求得面積的最大值，并由三角形與內切圓有關的面積公式，求得內切圓的半徑的最大值.
（1）設橢圓方程為
，點在直線上，且點在
軸上的射影恰好是橢圓
的右焦點
，則點
.
∵
∴
又
解得
∴橢圓方程為
（2）由（1）知，
，過點的直線與橢圓交于
兩點，
則的周長為
，又
（
為三角形內切圓半徑），
∴當的面積最大時，其內切圓面積最大.
設直線的方程為：
，
，則
消去得
，
∴
∴
令
，則
，∴
令
，
當
時，
，
在
上單調遞增，
∴
，當
時取等號，
即當
時，的面積最大值為3，
結合
，得的最大值為
，
∴內切圓面積的最大值為.
輕松課堂單元期中期末專題沖刺100分系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
:
的右焦點為
，過點的直線（不與
軸重合）與橢圓相交于
，
兩點，直線
：
與軸相交于點
，過點作
，垂足為D.
（1）求四邊形
（
為坐標原點）面積的取值范圍；
（2）證明直線
過定點
，并求出點的坐標.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】 下列命題正確的個數是( )
①命題“x0∈R，
＋1>3x0”的否定是“x∈R，x2＋1≤3x”；
②“函數f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期為π”是“a＝1”的必要不充分條件；
③x2＋2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立(x2＋2x)min≥(ax)max在x∈[1,2]上恒成立；
④“平面向量a與b的夾角是鈍角”的充要條件是“a·b<0”．
A.1B.2
C.3D.4
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】明初出現了一大批杰出的騎兵將領，比如徐達、常遇春、李文忠、藍玉和朱棣.明初騎兵軍團擊敗了不可一世的蒙古騎兵，是當時世界上最強騎兵軍團.假設在明軍與元軍的某次戰役中，明軍有8位將領，善用騎兵的將領有5人；元軍有8位將領，善用騎兵的有4人.
（1）現從明軍將領中隨機選取4名將領，求至多有3名是善用騎兵的將領的概率；
（2）在明軍和元軍的將領中各隨機選取2人，
為善用騎兵的將領的人數，寫出的分布列，并求
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖1，在直角梯形
中，AB∥CD，
，且
．現以
為一邊向梯形外作正方形
，然后沿邊
將正方形翻折，使平面與平面垂直，如圖2．
（Ⅰ）求證：BC⊥平面DBE；
（Ⅱ）求點D到平面BEC的距離.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某花圃為提高某品種花苗質量，開展技術創新活動，在
，
實驗地分別用甲、乙方法培訓該品種花苗．為觀測其生長情況，分別在實驗地隨機抽取各50株，對每株進行綜合評分，將每株所得的綜合評分制成如圖所示的頻率分布直方圖．記綜合評分為80及以上的花苗為優質花苗．
（Ⅰ）求圖中
的值；
（Ⅱ）用樣本估計總體，以頻率作為概率，若在，兩塊試驗地隨機抽取3棵花苗，求所抽取的花苗中的優質花苗數的分布列和數學期望；
（Ⅲ）填寫下面的列聯表，并判斷是否有90%的把握認為優質花苗與培育方法有關．
優質花苗 | 非優質花苗 | 合計 | |
甲培育法 | 20 | ||
乙培育法 | 10 | ||
合計 |
附：下面的臨界值表僅供參考．
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | <>0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
（參考公式：
，其中
．）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，已知
平面
，且四邊形為直角梯形，
，
，
.
（Ⅰ）求平面
與平面
所成二面角（銳角）的余弦值；
（Ⅱ）點
是線段
上的動點，當直線
與
所成角最小時，求線段
的長度.
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