Question

已知雙曲線H：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）一個頂點為（2，0），且H的離心率e=

5

2

．
（1）求H的方程；
（2）過原點的直線l與H相交于A、B兩點（點A在第一象限），過A作AC垂直于x軸，垂足為C．連接BC與H交于點D，記直線AB，AD的斜率分別為k₁、k₂．求證：k₁+k₂＞

3

2

．

Answer 1

分析：（1）由頂點為（2，0），可得a=2；由雙曲線的離心率計算公式e=

c

a

=

5

2

，即可得到c，再利用b²=c²-a²即可得到b，進而得到方程．
（2）設A（m，n），由題意可知A、B兩點關于原點對稱，可得B（-m，-n），C（m，0），得到BC的方程為x=

2m

n

y+m．由A在雙曲線上，可得

m2

4

-n2=1，即m²=4（n²+1）．
把BC的方程x=

2m

n

y+m代入雙曲線方程，整理可得（3n²+4）y²+（4n³+4n）y+n⁴=0，利用根與系數的關系即可得到y_D，從而得到x_D，即可得到直線AD的斜率k₂，利用放縮法即可證明結論．

解答：（1）解：由題意，a=2
∵H的離心率e=

5

2

，∴

4+b2

4

=

5

4

，∴b=1
∴H的方程為

x2

4

-y2=1；
（2）證明：設A（m，n），由題意可知A、B兩點關于原點對稱，
∴B（-m，-n），C（m，0），∴BC的方程為x=

2m

n

y+m．（*）
∵A在雙曲線上，∴

m2

4

-n2=1，∴m²=4（n²+1）．
把BC的方程x=

2m

n

y+m代入雙曲線方程，整理可得（3n²+4）y²+（4n³+4n）y+n⁴=0，
∴yByD=

n4

3n2+4

，而y_B=-n，
∴yD=

-n3

3n2+4

，代入（*）可得xD=

mn2+4m

3n2+4

．∴D(

mn2+4m

3n2+4

，

-n3

3n2+4

)．
∴k2=

n+ n3 3n2+4

m- mn2+4m 3n2+4

=

2n2+2

mn

．
∴k₁+k₂=

n

m

+

2n2+2

mn

=

3n2+2

mn

=

(3n2+2)2 m2n2

=

9n4+12n2+4 4n2(n2+1)

＞

9(n4+n2) 4(n4+n2)

=

3

2

．證畢

點評：本題重點考查雙曲線的標準方程及其性質、直線與雙曲線的位置關系，解題的關鍵是直線與雙曲線方程的聯立得到根與系數的關系，利用坐標表示斜率及恰當使用放縮法．