Question

已知雙曲線(xiàn)C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的右焦點(diǎn)為F，過(guò)F作雙曲線(xiàn)C的一條漸近線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為H，若FH的中點(diǎn)M在雙曲線(xiàn)C上，則雙曲線(xiàn)C的離心率為

2

．

Answer 1

分析：設(shè)一漸近線(xiàn)方程為 y=

b

a

 x，則F₂H的方程為 y-0=k（x-c），代入漸近線(xiàn)方程 求得H的坐標(biāo)，有中點(diǎn)公式求得中點(diǎn)M的坐標(biāo)，再把點(diǎn)M的坐標(biāo)代入雙曲線(xiàn)求得離心率．

解答：解：由題意可知，一漸近線(xiàn)方程為 y=

b

a

 x，則F₂H的方程為 y-0=k（x-c），
代入漸近線(xiàn)方程 y=

b

a

 x 可得
H的坐標(biāo)為 （

a2

c

，

ab

c

 ），
故F₂H的中點(diǎn)M （

c+ a2 c

2

，

ab

2c

 ），
根據(jù)中點(diǎn)M在雙曲線(xiàn)C上，
∴

( a2 c +c)2

4a2

-

a2b2

4 b2c2

=1，
∴

c2

a2

=2，故

c

a

=

2

，
故答案為：

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．