Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，過(guò)F₂作雙曲線C的一條漸近線的垂線，垂足為H，若F₂H的中點(diǎn)M在雙曲線C上，則雙曲線C的離心率為（　　）

• A、

  2

• B、

  3

• C、2
• D、3

Answer 1

分析：設(shè)一漸近線方程為 y=

b

a

 x，則F₂H的方程為 y-0=k（x-c），代入漸近線方程 求得H的坐標(biāo)，有中點(diǎn)公式求得
中點(diǎn)M的坐標(biāo)，再把點(diǎn)M的坐標(biāo)代入雙曲線求得離心率．

解答：解：由題意可知，一漸近線方程為 y=

b

a

 x，則F₂H的方程為 y-0=k（x-c），代入漸近線方程 y=

b

a

 x 可得
H的坐標(biāo)為 （

a2

c

，

ab

c

 ），故F₂H的中點(diǎn)M （

c+ a2 c

2

，

ab

2c

 ），根據(jù)中點(diǎn)M在雙曲線C上，
∴

( a2 c +c)2

4a2

-

a2b2

4 b2c2

=1，∴

c2

a2

=2，故

c

a

=

2

，
故選 A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，求出F₂H的中點(diǎn)M的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．