Question

如果橢圓

x2

36

+

y2

9

=1的弦被點（4，2）平分，則這條弦所在的直線方程是

 

．

Answer 1

分析：若設弦的端點為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），代入橢圓方程得9x₁²+36y₁²=36×9①，9x₂²+36y₂²=36×9②；作差①-②，并由中點坐標公式，可得直線斜率k，從而求出弦所在的直線方程．

解答：解：設弦的端點為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），代入橢圓方程，得9x₁²+36y₁²=36×9①，9x₂²+36y₂²=36×9②；①-②，得9（x₁+x₂）（x₁-x₂）+36（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0；由中點坐標

x1+x2

2

=4，

y1+y2

2

=2，代入上式，得
36（x₁-x₂）+72（y₁-y₂）=0，∴直線斜率為k=

y2-y1

x2-x1

=-

1

2

，所求弦的直線方程為：y-2=-

1

2

（x-4），即x+2y-8=0．
故答案為：x+2y-8=0．

點評：本題考查了圓錐曲線中由中點坐標公式，通過作差的方法，求得直線斜率k的應用模型，屬于基礎題目．