Question

已知函數.
（1）求在區間上的最大值；
（2）若過點存在3條直線與曲線相切，求t的取值范圍；
（3）問過點分別存在幾條直線與曲線相切？（只需寫出結論）

Answer 1

試題分析：（1）求導數，導數等于0求出，再代入原函數解析式，最后比較大小，即可；（2）設切點，由相切得出切線方程，然后列表并討論求出結果;(3)由（2）容易得出結果.
(1)由得，令，得或，
因為，，，，
所以在區間上的最大值為.
（2）設過點P（1，t）的直線與曲線相切于點，則
，且切線斜率為，所以切線方程為，
因此，整理得：，
設，則“過點存在3條直線與曲線相切”等價于“有3個不同零點”， =，
與的情況如下：

		0		1
	+	0		0	+
		t+3

 
所以，是的極大值，是的極小值，
當，即時，此時在區間和上分別至多有1個零點，所以
至多有2個零點，
當，時，此時在區間和上分別至多有1個零點，所以
至多有2個零點.
當且，即時，因為，，
所以分別為區間和上恰有1個零點，由于在區間和上單調，所以分別在區間和上恰有1個零點.
綜上可知，當過點存在3條直線與曲線相切時，t的取值范圍是.
（3）過點A（-1，2）存在3條直線與曲線相切；
過點B（2，10）存在2條直線與曲線相切；
過點C（0，2）存在1條直線與曲線相切.