Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的離心率為

6

3

，橢圓短軸的一個端點(diǎn)與兩個焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為 

5 2

3

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知動直線y=k（x+1）與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)．
①若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-

1

2

，求斜率k的值； 
②x軸上是否存在定點(diǎn)M，使

MA

•

MB

為定值？若存在，試求出點(diǎn)M的坐標(biāo)和定值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)橢圓的離心率，三角形的面積建立方程，結(jié)合a²=b²+c²，即可求橢圓C的方程；
（2）①直線方程與橢圓聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，結(jié)合AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-

1

2

，即可求斜率k的值； 
②利用向量的數(shù)量積公式，結(jié)合定值時與k的取值無關(guān)，即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）由題意

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，a²=b²+c²，

c

a

=

6

3

，且橢圓短軸的一個端點(diǎn)與兩個焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為

5 2

3

，所以

1

2

b×2c=

5 2

3

，所以a2=5，b2=

5

3

，所以橢圓方程為：

x2

5

+

y2

5 3

=1…（4分）
（2）①

y=k(x+1) x2 5 + y2 5 3 =1

化簡可得(1+3k2)x2+6k2x+3k2-5=0．
又△=36k⁴-4（3k²+1）（3k²-5）=48k²+20＞0，
令A(yù)（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則由韋達(dá)定理可得x1+x2=-

6k2

3k2+1

，x1x2=

3k2-5

3k2+1

∵AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-

1

2

，∴-

6k2

3k2+1

=-

1

2

，解得k=±

3

3

…（8分）
②假設(shè)X軸上存在點(diǎn)M（m，0）使得

MA

•

MB

為定值，則

MA

•

MB

=(k2+1)x1x2+(k2-m)(x1-x2)+(k2+m2)=

(3m2+6m-1)k2+(m2-5)

3k 2+1

要使上式為定值，則須使

3m2+6m-1

3

=

m2-5

1

，∴m=-

7

3

．
此時

MA

•

MB

為定值

4

9

，定點(diǎn)為M（-

7

3

，0）…（13分）

點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量的數(shù)量積公式，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．