Question

（2013•唐山一模）已知函數f(x)=

mx+n

ex

在x=1處取得極值e^-1．
（I ）求函數f（x）的解析式，并求f（x）的單調區間；
（II）當x＞0 時，試證：f（1+x）＞f（1-x）．

Answer 1

分析：（I）由題意知，在x=1處的導數為零，在x=1處的函數值為e^-1．列出方程即可求出m，n，從而得出函數f（x）的解析式，再求導函數，利用導數大于零單調增，導數小于零單調減得出結果．
（Ⅱ）利用作差法進行證明．設g（x）=f（1+x）-f（1-x）=

1+x

e1+x

-

1-x

e1-x

=

(1+x)e-x-(1-x)ex

e

．構造函數h（x）=（1+x）e^-x-（1-x）e^x=

1+x

ex

-（1-x）e^x，利用導數研究其單調性，從而得出g（x）＞0，從而f（1+x）＞f（1-x）．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=-

mx+n-m

ex

．
依題意，f（1）=e^-1，f′（1）=0，即

(m+n)e-1=e-1 -ne-1=0

解得m=1，n=0．…（4分）
所以f（x）=

x

ex

．
f′（x）=-

x-1

ex

．
當x∈（-∞，1）時，f′（x）＞0；當x∈（1，+∞）時，f′（x）＜0．…（6分）
函數f（x）在（-∞，1）單調遞增；在（1，+∞）單調遞減．
（Ⅱ）設g（x）=f（1+x）-f（1-x）=

1+x

e1+x

-

1-x

e1-x

=

(1+x)e-x-(1-x)ex

e

．…（8分）
設h（x）=（1+x）e^-x-（1-x）e^x=

1+x

ex

-（1-x）e^x，
則h′（x）=

x(e2x-1)

ex

＞0，h（x）在（0，+∞）單調遞增，h（x）＞h（0）=0，…（10分）
所以g（x）＞0，從而f（1+x）＞f（1-x）．…（12分）

點評：考查了函數的求導及極值的概念，考查了利用導函數函數求其單調區間，還考查了利用方程求解的思想，屬于中檔題．