Question

數列，（）由下列條件確定：①；②當時，與滿足：當時，,；當時，，.

（Ⅰ）若，，寫出，并求數列的通項公式；

（Ⅱ）在數列中，若(,且)，試用表示；

（Ⅲ）在（Ⅰ）的條件下，設數列滿足，，

(其中為給定的不小于2的整數)，求證：當時，恒有.

Answer 1

（Ⅰ）解：因為，所以,.

因為,所以,.

因為,所以,.

所以.    …………………………………… 2分

由此猜想，當時,，則，.… 3分

下面用數學歸納法證明：

①當時，已證成立.                                            

②假設當（，且）猜想成立，

      即，，.

     當時，由， 得，則，.

 綜上所述，猜想成立.

所以.

故.       ……………………………………………… 6分

（Ⅱ）解：當時，假設，根據已知條件則有，

與矛盾，因此不成立，      …………… 7分

所以有，從而有，所以.           

當時，，,

所以;       …………………… 8分

當時，總有成立.

又，

所以數列()是首項為，公比為的等比數列, ，,

又因為，所以.   …………………………… 10分

（Ⅲ）證明：由題意得

                          .

因為，所以.

所以數列是單調遞增數列.            …………………………………… 11分

因此要證,只須證.

由，則<，即.…… 12分

因此

.

所以.

故當,恒有.       …………………………………………………14分