Question

數列，（）由下列條件確定：①；②當時，與滿足：當時，,；當時，，.

（Ⅰ）若，，求，，，并猜想數列的通項公式（不需要證明）；

（Ⅱ）在數列中，若(,且)，試用表示，；

（Ⅲ）在（Ⅰ）的條件下，設數列滿足，， (其中為給定的不小于2的整數)，求證：當時，恒有.

Answer 1

（Ⅰ）解：因為，所以,.     ……1分

因為,則,.     ………………2分

.      ……………………………………………………3分

猜想當時，.   

則   …………………………………………………………4分

（Ⅱ）解：當時，假設，根據已知條件則有，

與矛盾，因此不成立，    ……………………5分

所以有，從而有，所以.    ……………………6分

當時，，,

所以;       …………………………8分

當時，總有成立.

又，

所以()是首項為，公比為的等比數列，  ……9分     

，,

又因為，所以.       …………………………10分

（Ⅲ）證明：由題意得

                          .

因為，所以. 

所以數列是單調遞增數列.   ………………………………………………11分

因此要證，只須證.

由，則<，即. …12分

因此

.

所以.

故當,恒有.      …………………………………14分