Question

已知某廠生產(chǎn)x件產(chǎn)品的總成本為f（x）=25000+200x+（元）．
（1）要使生產(chǎn)x件產(chǎn)品的平均成本最低，應生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？
（2）若產(chǎn)品以每件500元售出，要使利潤最大，應生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)題意設生產(chǎn)x件產(chǎn)品的平均成本為y元，再結(jié)合平均成本的含義得出函數(shù)y的表達式，最后利用導數(shù)求出此函數(shù)的最小值即可；
（2）先寫出利潤函數(shù)的解析式，再利用導數(shù)求出此函數(shù)的極值，從而得出函數(shù)的最大值，即可解決問題：要使利潤最大，應生產(chǎn)多少件產(chǎn)品．
解答：解：（1）設生產(chǎn)x件產(chǎn)品的平均成本為y元，則（2分）（3分）
令y'=0，得x₁=1000，x₂=-1000（舍去）（4分）
當x∈（0，1000）時，y取得極小值．
由于函數(shù)只有一個極值點，所以函數(shù)在該點取得最小值，
因此要使平均成本最低，應生產(chǎn)1000件產(chǎn)品（6分）
（2）利潤函數(shù)（8分）（9分）
令L'（x）=0，得x=6000（10分）
當x∈（0，6000）時，L'（x）＞0
當x∈（600，+∞）時，L'（x）＜0∴x=6000時，L（x）取得極大值，即函數(shù)在該點取得最大值，
因此要使利潤最大，應生產(chǎn)6000件產(chǎn)品（12分）
點評：本小題主要考查根據(jù)實際問題建立數(shù)學模型，以及運用函數(shù)、導數(shù)的知識解決實際問題的能力．