Question

已知某廠生產x件產品的總成本為f（x）=25000+200x+

1

40

x2（元）．
（1）要使生產x件產品的平均成本最低，應生產多少件產品？
（2）若產品以每件500元售出，要使利潤最大，應生產多少件產品？

Answer 1

分析：（1）先根據題意設生產x件產品的平均成本為y元，再結合平均成本的含義得出函數y的表達式，最后利用導數求出此函數的最小值即可；
（2）先寫出利潤函數的解析式，再利用導數求出此函數的極值，從而得出函數的最大值，即可解決問題：要使利潤最大，應生產多少件產品．

解答：解：（1）設生產x件產品的平均成本為y元，則y=

25000+200x+ 1 40 x2

x

=

25000

x

+200+

1

40

x(x＞0)（2分）y′=-

25000

x2

+

1

40

（3分）
令y'=0，得x₁=1000，x₂=-1000（舍去）（4分）
當x∈（0，1000）時，y取得極小值．
由于函數只有一個極值點，所以函數在該點取得最小值，
因此要使平均成本最低，應生產1000件產品（6分）
（2）利潤函數L(x)=500x-(25000+200x+

x2

40

)=300x-25000-

1

40

x2（8分）L′(x)=300-

x

20

（9分）
令L'（x）=0，得x=6000（10分）
當x∈（0，6000）時，L'（x）＞0
當x∈（6000，+∞）時，L'（x）＜0∴x=6000時，L（x）取得極大值，即函數在該點取得最大值，
因此要使利潤最大，應生產6000件產品（12分）

點評：本小題主要考查根據實際問題建立數學模型，以及運用函數、導數的知識解決實際問題的能力．