Question

設等差數列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₃=12，S₁₅＞0，S₁₆＜0，
（1）求公差d的取值范圍；   
（2）指出S₁，S₂，…，S_n中哪一個最大？說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用等差數列的前n項和公式得到15a1+

15×14

2

d＞0，16a1+

16×15

2

d＜0，利用等差數列的通項公式得到
以a₁+2d=12，即a₁=12-2d，聯立求出d的范圍．
（2）利用等差數列的前n項和公式得到

15(a1+a15)

2

＞0，

16(a1+a16)

2

＞0，利用等差數列的性質得到a₈＞0，a₈+a₉＜0，進一步得到S₈最大．

解答：解：（1）因為S₁₅＞0，S₁₆＜0，
所以15a1+

15×14

2

d＞0，16a1+

16×15

2

d＜0，
又因為a₃=12，
所以a₁+2d=12，即a₁=12-2d，
代入上兩式得到-

12

5

＜d＜-

24

11

，
（2）因為S₁₅＞0，S₁₆＜0，
所以

15(a1+a15)

2

＞0，

16(a1+a16)

2

＞0，
所以15a₈＞0，8（a₈+a₉）＜0，
所以a₈＞0，a₈+a₉＜0，
所以a₉＜0
所以S₈最大．…（12分）

點評：本題考查在解決等差數列及等比數列兩個特殊數列的有關問題時，常采用數列的通項公式及前n項和公式，利用基本量法來解決．