Question

10．已知函數f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx+sin²x-$\frac{1}{2}$．
（1）求f（x）的最小正周期及其對稱軸方程；
（2）設函數g（x）=f（$\frac{ωx+φ}{2}$+$\frac{π}{12}$），其中常數ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$．
（i）當ω=4，φ=$\frac{π}{6}$時，函數y=g（x）-4λf（x）在[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$]上的最大值為$\frac{3}{2}$，求λ的值；
（ii）若函數g（x）的一個單調減區間內有一個零點-$\frac{2π}{3}$，且其圖象過點A（$\frac{7π}{3}$，1），記函數g（x）的最小正周期為T，試求T取最大值時函數g（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角以及輔助角公式基本公式將函數化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數的最小正周期，結合三角函數的圖象和性質對稱軸方程
（2）（i）求出g（x）的解析式，當ω=4，φ=$\frac{π}{6}$時，求函數y=g（x）-4λf（x），化簡，結合三角函數的圖象和性質在[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$]上的最大值為$\frac{3}{2}$，討論，可求λ的值．
（ii）若函數的周期最大為T，單調減區間內有一個零點-$\frac{2π}{3}$，且其圖象過點A（$\frac{7π}{3}$，1），則有$\frac{3}{4}T$=$\frac{7π}{3}-（-\frac{2π}{3}）$=3π，求解T的最大值．可得ω；圖象過點A（$\frac{7π}{3}$，1），帶入g（x）化簡，求解φ，從而可得函數g（x）的解析式．

解答 解：（1）函數f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx+sin²x-$\frac{1}{2}$．
化簡可得：f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x=sin（2x-$\frac{π}{6}$）
f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{2}=π$，
由2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}+kπ$，（k∈Z），可得對稱軸方程為：x=$\frac{1}{2}kπ+\frac{π}{3}$，（k∈Z）．
（2）由函數g（x）=f（$\frac{ωx+φ}{2}$+$\frac{π}{12}$）=sin（ωx+φ），
（i）當ω=4，φ=$\frac{π}{6}$時，函數y=g（x）-4λf（x）=sin（4x+$\frac{π}{6}$）-4λsin（2x-$\frac{π}{6}$）
=cos（4x-$\frac{π}{3}$）-4λsin（2x-$\frac{π}{6}$）=1-2sin²（2x-$\frac{π}{6}$）-4λsin（2x-$\frac{π}{6}$）=-2[sin（2x-$\frac{π}{6}$）+λ]²+1+2λ²．
∵x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$]上，
則2x-$\frac{π}{6}$∈[0，$\frac{π}{2}$]．
故sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[0，1]．
當λ∈[-1，0]時，則有1+2λ²=$\frac{3}{2}$，解得：λ=$-\frac{1}{2}$；
當λ∈（0，+∞）時，sin（2x-$\frac{π}{6}$）=0時，y取得最大值，此時-2[sin（2x-$\frac{π}{6}$）+λ]²+1+2λ²=1，與題意不符．
當λ∈（-∞，-1）時，sin（2x-$\frac{π}{6}$）=1時，y取得最大值，此時-2[1+λ]²+1+2λ²=-1-4λ=$\frac{3}{2}$，解得：λ=-$\frac{5}{8}$，不在其范圍內，故舍去．
故得滿足題意的λ的值為$-\frac{1}{2}$．
（ii）函數g（x）=sin（ωx+φ），若函數的周期最大為T，單調減區間內有一個零點-$\frac{2π}{3}$，
且其圖象過點A（$\frac{7π}{3}$，1），則有$\frac{3}{4}T$=$\frac{7π}{3}-（-\frac{2π}{3}）$=3π，解得：T=4π，∴ω=$\frac{2π}{4π}$=$\frac{1}{2}$．
點（$\frac{7π}{3}$，1）在圖象上，可得：$\frac{7π}{3}×\frac{1}{2}$+φ=2kπ．∵|φ|＜$\frac{π}{2}$．∴φ=-$\frac{2π}{3}$不符合題意．舍去．
當$\frac{7}{4}T$=$\frac{7π}{3}-（-\frac{2π}{3}）$=3π，解得：T=$\frac{12π}{7}$．∴ω=$2π×\frac{7}{12π}=\frac{7}{6}$．
點（$-\frac{2π}{3}$，0）在圖象上，$\frac{7}{6}×（-\frac{2π}{3}）$+φ=-π+2kπ．∵|φ|＜$\frac{π}{2}$．∴φ=$-\frac{2π}{9}$，
∴g（x）的解析式為：g（x）=sin（$\frac{7}{6}$x-$\frac{2π}{9}$）
點（$\frac{7π}{3}$，1）在圖象上，
驗證：sin（$\frac{7}{6}×\frac{7π}{3}-\frac{2π}{9}$）=sin$\frac{π}{2}$=1符合題意．
故得g（x）的解析式為：g（x）=sin（$\frac{7}{6}$x-$\frac{2π}{9}$）．

點評 本題主要考查對三角函數的化簡能力和三角函數的圖象和性質的運用，利用三角函數公式將函數進行化簡是解決本題的關鍵．對存在的周期和最值的討論，屬于難題．