Question

5．已知函數f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）-1在區間[a，b]（a，b∈R，且a＜b）上至少含有10個零點，在所有滿足條件的[a，b]中，b-a的最小值為$\frac{13π}{3}$．

Answer 1

分析 根據函數零點的條件，求出相鄰兩個零點的間隔，進行求解即可．

解答 解：函數f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）-1，
令f（x）=0，即2sin（2x-$\frac{π}{3}$）-1，
sin（2x-$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$，
解得：x=$\frac{π}{4}+kπ$或x=$\frac{7π}{12}+kπ$，（k∈Z）．
故相鄰的零點之間的間隔依次為$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$．
y=f（x）在[a，b]上至少含有10個零點，等價于b-a的最小值為4×$\frac{2π}{3}$+5×$\frac{π}{3}$=$\frac{13π}{3}$．
故答案為：$\frac{13π}{3}$．

點評 本題主要考查三角函數的圖象和性質，利用三角函數的對稱性和函數零點的關系是解決本題的關鍵