Question

已知a，b都是負(fù)實(shí)數(shù)，則

a

a+2b

+

b

a+b

的最小值是

 

．

Answer 1

分析：把所給的式子直接通分相加，把分子整理出含有分母的形式，做到分子常數(shù)化，分子和分母同除以分母，把原式的分母變化成具有基本不等式的形式，求出最小值．

解答：解：直接通分相加得

a

a+2b

+

b

a+b

=

a2+2ab+2b2

a2+3ab+2b2

=1-

ab

a2+3ab+2b2

=1-

1

a b + 2b a +3

因?yàn)閍，b都是負(fù)實(shí)數(shù)，所以

a

b

，

2b

a

都為正實(shí)數(shù)
那么上式中分式中的分母可以利用基本不等式求出最小值
最小值為2

2

分母有最小值，即

1

a b + 2b a +3

有最大值
那么1-

1

a b + 2b a +3

可得最小值
最小值：2

2

-2
故答案為：2(

2

-1)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的最值及其幾何意義，本題解題的關(guān)鍵是整理出原式含有基本不等式的形式，可以應(yīng)用基本不等式求最值．