Question

已知橢圓的焦點坐標為F₁（-1，0），F₂（1，0），過F₂垂直于長軸的直線交橢圓于P、Q兩點，且|PQ|=3．
（1）求橢圓的方程；
（2）過F₂的直線l與橢圓交于不同的兩點M、N，則△F₁MN的內切圓的面積是否存在最大值？若存在求出這個最大值及此時的直線方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設橢圓方程，由焦點坐標可得c=1，由|PQ|=3，可得=3，又a²-b²=1，由此可求橢圓方程；
（2）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），不妨y₁＞0，y₂＜0，設△F₁MN的內切圓的徑R，則△F₁MN的周長=4a=8，（|MN|+|F₁M|+|F₁N|）R=4R，因此最大，R就最大．設直線l的方程為x=my+1，與橢圓方程聯立，從而可表示△F₁MN的面積，利用換元法，借助于導數，即可求得結論．
解答：解：（1）設橢圓方程為=1（a＞b＞0），由焦點坐標可得c=1…（1分）
由|PQ|=3，可得=3，…（2分）
又a²-b²=1，解得a=2，b=，…（3分）
故橢圓方程為=1…（4分）
（2）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），不妨y₁＞0，y₂＜0，設△F₁MN的內切圓的徑R，
則△F₁MN的周長=4a=8，（|MN|+|F₁M|+|F₁N|）R=4R
因此最大，R就最大，…（6分）
由題知，直線l的斜率不為零，可設直線l的方程為x=my+1，
由得（3m²+4）y²+6my-9=0，…（8分）
得，，
則=，…（9分）
令t=，則t≥1，
則，…（10分）
令f（t）=3t+，則f′（t）=3-，
當t≥1時，f′（t）≥0，f（t）在[1，+∞）上單調遞增，有f（t）≥f（1）=4，S_△F1MN≤3，
即當t=1，m=0時，S_△F1MN≤3，
S_△F1MN=4R，∴R_max=，這時所求內切圓面積的最大值為π．
故直線l：x=1，△F₁MN內切圓面積的最大值為π…（12分）
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查三角形面積的計算，考查學生分析解決問題的能力，分析得出最大，R就最大是關鍵．