Question

已知橢圓的焦點坐標為F₁（-5，0），F₂（5，0），離心率e=

5

3

，P為橢圓上一點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若PF₁⊥PF₂，求S_△PF1F2．

Answer 1

分析：（1）設出橢圓的方程，利用橢圓的定義得到2a，再利用橢圓的離心率公式列出關于a，c的方程，求出c，利用橢圓中的三個參數的關系求出b，寫出橢圓的方程．
（2）利用直角三角形的勾股定理及橢圓的定義得到關于|PF₁|，|PF₂|的方程，求出|PF₁|•|PF₂|的值，利用直角三角形的面積公式求出△PF₁F₂的面積．

解答：解：（1）由題知：c=5，e=

c

a

=

5

3

，得a=3

5

，所以b²=a²-c²=20
所以橢圓的標準方程為：

x 2

45

+

y2

20

=1------------（5分）
（2）由|PF₁|+|PF₂|=2a=6

5

，|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²=4c²，可得：
|PF₁|•|PF₂|=40，所以，S_△PF1F2．=

1

2

|PF₁|•|PF₂|=20------------（10分）

點評：求圓錐曲線的方程，一般利用待定系數法，主要考查橢圓的標準方程，以及橢圓的簡單性質的應用．