Question

已知函數f(x)=

1

2

x2-mlnx，其中m＞0．
（1）若m=1，求函數y=f（x）的單調遞減區間；
（2）若函數y=f（x）（x∈（0，3]）的圖象上任意一點處切線的斜率k≤2恒成立，求實數m的取值范圍；
（3）若函數y=f（x）在[1，e]上有兩個零點，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由已知得，函數的定義域為（0，+∞）．當m=1，利用導數的運算法則，解出f′（x）＜0即可．
（2）f′(x)=x-

m

x

=

x2-m

x

≤2對任意的x∈（0，3]恒成立，?m≥x²-2x對任意的x∈（0，3]恒成立?m≥（x²-2x）_max
（3）利用導數得出y=f（x）在（0，+∞）上有極小值（也就是最小值），若函數y=f（x）在[1，e]上有兩個零點，而f(1)=

1

2

，  f(e)=

1

2

e2-mlne=

1

2

e2-m，可得

f(1)≥0 f(e)≥0 f( m )＜0 1＜ m ＜e

解得即可．

解答：解：（1）由已知得，函數的定義域為（0，+∞）．
當m=1，f′(x)=x-

1

x

=

x2-1

x

，
令f′（x）＜0，得0＜x＜1，
函數y=f（x）的單調遞減區間 （0，1）．
（2）f′(x)=x-

m

x

=

x2-m

x

≤2對任意的x∈（0，3]恒成立，
∴m≥x²-2x對任意的x∈（0，3]恒成立∴m≥（x²-2x）_max
而當x=3時，x²-2x取最大值為3，∴m≥3．
（3）f′(x)=x-

m

x

=

x2-m

x

=

(x- m )(x+ m )

x

，且m＞0f′(x)=0⇒x=

m

；
f′(x)＞0⇒x＞

m

，f′(x)＜0⇒0＜x＜

m

，
∴y=f（x）在(0，  

m

)上遞減；
而在(

m

，  +∞)上遞增．
∴y=f（x）在（0，+∞）上有極小值（也就是最小值）f(

m

)=

1

2

m-mln

m

=

1

2

m(1-lnm)，
若函數y=f（x）在[1，e]上有兩個零點，
而f(1)=

1

2

，  f(e)=

1

2

e2-mlne=

1

2

e2-m，
∴

f(1)≥0 f(e)≥0 f( m )＜0 1＜ m ＜e

解得e＜m≤

1

2

e2，
實數m的取值范圍  e＜m≤

1

2

e2．

點評：熟練掌握利用導數研究函數的單調性、極值與最值是解題的關鍵．