Question

（文科學(xué)生做）若函數(shù)f（x）對(duì)任意x₁，x₂∈D，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|成立，則稱(chēng)f（x）為D上的“收縮”函數(shù)
（1）判斷函數(shù)f(x)=

1

4

x2+

1

2

x在[-1，1]上是否是“收縮”函數(shù)，并說(shuō)明理由；
（2）函數(shù)f(x)=

k

x+2

(k∈R)，
    （i）討論函數(shù)f(x)=

k

x+2

(k∈R)在x∈[-1，+∞）的單調(diào)性，并用定義證明；
   （ii）是否存在k∈R，使得f(x)=

k

x+2

在[-1，+∞）上為“收縮”函數(shù)，若存在，求k的范圍；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值域

專(zhuān)題：新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）任取x₁，x₂∈[-1，1]，由不等式的性質(zhì)可證|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|，可證為“收縮”函數(shù)；（2）（i）任取x₁，x₂∈[-1，+∞），作差可得f（x₁）-f（x₂）=k

x2-x1

(x1+2)(x2+2)

，由題意討論k的范圍，結(jié)合單調(diào)性的定義可得結(jié)論；（ii）假設(shè)存在k∈R，使得f(x)=

k

x+2

在[-1，+∞）上為“收縮”函數(shù)，則滿(mǎn)足對(duì)任意x₁，x₂∈[-1，+∞），都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|成立，化為k的不等式可解范圍．

解答： 解：（1）任取x₁，x₂∈[-1，1]，可得|f（x₁）-f（x₂）|
=|（

1

4

x12+

1

2

x1）-（

1

4

x22+

1

2

x2）|
=|

1

4

（x₁+x₂）（x₁-x₂）+

1

2

（x₁-x₂）|
=|x₁-x₂||

1

4

（x₁+x₂）+

1

2

|
∵x₁，x₂∈[-1，1]，∴

1

4

（x₁+x₂）∈[-

1

2

，

1

2

]，
∴

1

4

（x₁+x₂）+

1

2

|∈[0，1]，即|

1

4

（x₁+x₂）+

1

2

|≤1，
∴|x₁-x₂||

1

4

（x₁+x₂）+

1

2

|≤|x₁-x₂|
∴|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|
∴函數(shù)f(x)=

1

4

x2+

1

2

x在[-1，1]上是“收縮”函數(shù)；
（2）（i）任取x₁，x₂∈[-1，+∞），
則f（x₁）-f（x₂）=

k

x1+2

-

k

x2+2

=k

x2-x1

(x1+2)(x2+2)

，
∵x₁，x₂∈[-1，+∞），∴（x₁+2）（x₂+2）＞0，x₂-x₁＞0，
∴

x2-x1

(x1+2)(x2+2)

＞0，
當(dāng)k=0時(shí)，函數(shù)為常函數(shù)，
當(dāng)k＞0時(shí)，f（x₁）＞f（x₂），函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)k＜0時(shí)，f（x₁）＜f（x₂），函數(shù)單調(diào)遞增；
（ii）假設(shè)存在k∈R，使得f(x)=

k

x+2

在[-1，+∞）上為“收縮”函數(shù)，
則滿(mǎn)足對(duì)任意x₁，x₂∈[-1，+∞），都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|成立，
故|

k

x1+2

-

k

x2+2

|=|k||

x2-x1

(x1+2)(x2+2)

|≤|x₁-x₂|，
∴|k|≤|（x₁+2）（x₂+2）|，
∵x₁，x₂∈[-1，+∞），∴（x₁+2）（x₂+2）＞1，
∴|k|≤1，解得-1＜k＜1

點(diǎn)評(píng)：本題考查新定義，涉及函數(shù)的單調(diào)性的證明和不等式的性質(zhì)，屬中檔題．