Question

設(shè)a＞0，a≠1，解關(guān)于x的不等式

Answer 1

【答案】分析：本題為解數(shù)型不等式，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，分0＜a＜1和a＞1兩種情況討論，再轉(zhuǎn)化為解二次型不等式．
解答：解法一原不等式可寫成．①
根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，分為兩種情形討論：
（Ⅰ）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，由①式得
x⁴-2x²+a²＜0，②
由于0＜a＜1時(shí)，判別式
△=4-4a²＞0，
所以②式等價(jià)于
③④
解③式得x＜-或x＞，
解④式得-＜x＜．
所以，0＜a＜1時(shí)，原不等式的解集為
{x|-＜x＜-}∪{x|＜x＜}．
（Ⅱ）當(dāng)a＞1時(shí)，由①式得
x⁴-2x²+a²＞0，⑤
由于a＞1，判別式△＜0，故⑤式對(duì)任意實(shí)數(shù)x成立，即得原不等式的解集為R
綜合得
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，原不等式的解集為
{x|-＜x＜-}∪{x|＜x＜}；
當(dāng)a＞1時(shí)，原不等式的解集為R．
解法二原不等式可寫成．①
（Ⅰ）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，由①式得
x⁴-2x²+a²＜0，②
分解因式得（x²-1+）（x²-1-）＜0．③
④⑤
即
⑥⑦
或
解由④、⑤組成的不等式組得
-＜x＜-．
或＜x＜．
由⑥、⑦組成的不等式組解集為空集；所以，0＜a＜1時(shí)，原不等式的解集為
{x|-＜x＜-}∪{x|＜x＜}；
（Ⅱ）當(dāng)a＞1時(shí)，由①式得
x⁴-2x²+a²＞0，⑧
配方得（x²-1）²+a²-1＞0，⑨
對(duì)任意實(shí)數(shù)x，不等式⑨都成立，即a＞1時(shí)，原不等式的解集為
{x|-∞＜x＜+∞}．
綜合得
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，原不等式的解集為
{x|-＜x＜-}∪{x|＜x＜}；
當(dāng)a＞1時(shí)，原不等式的解集為{x|-∞＜x＜+∞}．
點(diǎn)評(píng)：本題考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、解不等式等知識(shí)點(diǎn)，注意分類討論．