Question

設a＞0，a≠1，解關于x的不等式ax4-2x2＞(

1

a

)a2.

Answer 1

分析：本題為解數型不等式，結合指數函數的單調性，分0＜a＜1和a＞1兩種情況討論，再轉化為解二次型不等式．

解答：解法一原不等式可寫成ax4-2x2＞a-a2．①
根據指數函數性質，分為兩種情形討論：
（Ⅰ）當0＜a＜1時，由①式得
x⁴-2x²+a²＜0，②
由于0＜a＜1時，判別式
△=4-4a²＞0，
所以②式等價于
③④

x2＞1- 1-a2 x2＜1+ 1-a2 .

解③式得x＜-

1- 1-a2

或x＞

1- 1-a2

，
解④式得-

1+ 1-a2

＜x＜

1+ 1-a2

．
所以，0＜a＜1時，原不等式的解集為
{x|-

1+ 1-a2

＜x＜-

1- 1-a2

}∪{x|

1- 1-a2

＜x＜

1+ 1-a2

}．
（Ⅱ）當a＞1時，由①式得
x⁴-2x²+a²＞0，⑤
由于a＞1，判別式△＜0，故⑤式對任意實數x成立，即得原不等式的解集為R
綜合得
當0＜a＜1時，原不等式的解集為
{x|-

1+ 1-a2

＜x＜-

1- 1-a2

}∪{x|

1- 1-a2

＜x＜

1+ 1-a2

}；
當a＞1時，原不等式的解集為R．
解法二原不等式可寫成ax4-2x2＞a-a2．①
（Ⅰ）當0＜a＜1時，由①式得
x⁴-2x²+a²＜0，②
分解因式得（x²-1+

1-a2

）（x²-1-

1-a2

）＜0．③
④⑤
即

x2-1+ 1-a2 ＞0 x2-1- 1-a2 ＜0

⑥⑦
或

x2-1+ 1-a2 ＜0 x2-1- 1-a2 ＞0.

解由④、⑤組成的不等式組得
-

1+ 1-a2

＜x＜-

1- 1-a2

．
或

1- 1-a2

＜x＜

1+ 1-a2

．
由⑥、⑦組成的不等式組解集為空集；所以，0＜a＜1時，原不等式的解集為
{x|-

1+ 1-a2

＜x＜-

1- 1-a2

}∪{x|

1- 1-a2

＜x＜

1+ 1-a2

}；
（Ⅱ）當a＞1時，由①式得
x⁴-2x²+a²＞0，⑧
配方得（x²-1）²+a²-1＞0，⑨
對任意實數x，不等式⑨都成立，即a＞1時，原不等式的解集為
{x|-∞＜x＜+∞}．
綜合得
當0＜a＜1時，原不等式的解集為
{x|-

1+ 1-a2

＜x＜-

1- 1-a2

}∪{x|

1- 1-a2

＜x＜

1+ 1-a2

}；
當a＞1時，原不等式的解集為{x|-∞＜x＜+∞}．

點評：本題考查指數函數的性質、解不等式等知識點，注意分類討論．