Question

某市甲、乙兩校高二級學生分別有1100人和1000人，為了解兩校全體高二級學生期 末統考的數學成績情況，采用分層抽樣方法從這兩所學校共抽取105名高二學生的數學 成績，并得到成績頻數分布表如下，規定考試成績在[120，150]為優秀．
甲校：

分組	[70，80）	[80，90）	[90，100）	[100，110）	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150）
頻數	2	3	10	15	15	x	3	1

乙校：

分組	[70，80）	[80，90）	[90，100）	[100，110）	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150）
頻數	1	2	9	8	10	10	y	3

（1）求表中x與y的值；
（2）由以上統計數據完成下面2x2列聯表，問是否有99%的把握認為學生數學成績優秀 與所在學校有關？
（3）若以樣本的頻率作為概率，現從乙校總體中任取 3人（每次抽取看作是獨立重復的），求優秀學生人數ξ的分布列和數學期望．（注：概率值可用分數表示）

	甲校	乙校	總計
優秀
非優秀
總計

Answer 1

【答案】分析：（1）根據條件知道從甲校和乙校各自抽取的人數，做出頻率分布表中的未知數；
（2）根據所給的條件寫出列聯表，根據列聯表做出觀測值，把觀測值同臨界值進行比較，得到沒有99%的把握認為認為學生數學成績優秀與所在學校有關．
（3）由題意知ξ的可能取值為0，1，2，3．結合變量對應的事件和ξ～B（3，），寫出變量的概率，做出變量的分布列，再求出變量的期望值．
解答：解：（1）由分層抽樣知，甲校抽取了105×=55人成績，乙校抽取了105-55=50人成績
∴x=6，y=7；
（2）2×2列聯表如下：

	甲校	乙校	總計
優秀	10	20	30
非優秀	45	30	75
總計	55	50	105

∵K²=≈6.109＜6.635，
∴沒有99%的把握認為認為學生數學成績優秀與所在學校有關．
（3）由題意知，乙校優秀的概率為，ξ的可能取值為0，1，2，3．
又ξ～B（3，），且P（ξ=k）=C（）^k（）^3-k，（k=0，1，2，3）
∴分布列為：

∴隨機變量ξ的Eξ=np=3×=．
點評：本題主要考查離散型隨機變量的期望與方差、獨立性檢驗的應用，解題的關鍵是正確運算出觀測值，理解臨界值對應的概率的意義，屬于基礎題．