Question

【題目】設數列{an}滿足：a1＝1，且當n∈N*時，an3+an2(1﹣an+1)+1＝an+1．

（1）求a2，a3的值；

（2）比較an與an+1的大小，并證明你的結論．

（3）若bn＝(1)，其中n∈N*，證明：0＜b1+b2+……+bn＜2．

Answer 1

【答案】（1）a2，a3；（2）an+1＞an；見解析（3）見解析

【解析】

（1）由已知數列遞推式得出an+1，依次代入計算可得a2，a3的值；

（2）利用作差，通分后配方可證明an+1＞an；

（3）由于bn＝（1），且an+1＞an，得0，由an+1＞an＞…＞a1＝1＞0得bn＞0，從而可得b1+b2+……+bn＞0；再由bn＝（1）

，得到bn．利用裂項相消法得，從而可證得結論．

（1）解：依題意，由an3+an2（1﹣an+1）+1＝an+1，可解得an+1，

則a2，

a3；

（2）解：an+1＞an．

證明如下：

由（1）得an+1，

∴an+1﹣an0，

∴an+1＞an；

（3）證明：由于bn＝（1），

由（1）an+1＞an，則1，0，

而an+1＞an＞…＞a1＝1＞0，則bn＞0，

∴0．

又于bn＝（1），

∴bn．

∴2[()+()+…+()]，

∴，

而an+1＞an，且a1＝1，故an+1＞0．

∴，從而0＜b1+b2+……+bn＜2．