【題目】如圖，
是正方形，點
在以
為直徑的半圓弧上（不與
，
重合），
為線段的中點，現將正方形沿折起，使得平面
平面
.
（1）證明：
平面
.
（2）三棱錐
的體積最大時，求二面角
的余弦值.
【答案】（1）見解析（2）
【解析】
（1）利用面面垂直的性質定理證得
平面
，由此證得
，根據圓的幾何性質證得
，由此證得
平面
.
（2）判斷出三棱錐
的體積最大時
點的位置.建立空間直角坐標系，通過平面
和平面
的法向量，計算出二面角
的余弦值.
（1）證明：因為平面
平面
是正方形，
所以
平面.
因為
平面，所以.
因為點在以
為直徑的半圓弧上，所以.
又
，所以平面.
（2）解：顯然，當點位于
的中點時，
的面積最大，三棱錐的體積也最大.
不妨設
，記
中點為
，
以
為原點，分別以
的方向為
軸、
軸、
軸的正方向，
建立如圖所示的空間直角坐標系
，
則
，
設平面
的法向量為
，
則
令
，得
.
設平面
的法向量為
，
則
令
，得
，
所以
.
由圖可知，二面角為銳角，故二面角的余弦值為.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設函數f（x）＝ex﹣ax+a（a∈R），其圖象與x軸交于A（x1，0），B（x2，0）兩點，且x1＜x2．
（1）求a的取值范圍；
（2）證明：f′（
）＜0（f′（x）為函數f（x）的導函數）；
（3）設點C在函數y＝f（x）的圖象上，且△ABC為等腰直角三角形，記
t，求（a﹣1）（t﹣1）的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，兩種坐標系中取相同的長度單位.已知直線l的參數方程為
（t為參數），曲線C的極坐標方程為ρ＝4sin（θ+
）.
（1）求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標方程；
（2）若直線l與曲線C交于M，N兩點，求△MON的面積.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓C：
過點A
，兩個焦點為（-1，0），（1，0）。
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）E,F是橢圓C上的兩個動點，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個定值。
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】自從新型冠狀病毒爆發以來，全國范圍內采取了積極的措施進行防控，并及時通報各項數據以便公眾了解情況，做好防護.以下是湖南省2020年1月23日-31日這9天的新增確診人數.
日期 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 |
時間 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
新增確診人數 | 15 | 19 | 26 | 31 | 43 | 78 | 56 | 55 | 57 |
經過醫學研究，發現新型冠狀病毒極易傳染，一個病毒的攜帶者在病情發作之前通常有長達14天的潛伏期，這個期間如果不采取防護措施，則感染者與一位健康者接觸時間超過15秒，就有可能傳染病毒.
（1）將1月23日作為第1天，連續9天的時間作為變量x，每天新增確診人數作為變量y，通過回歸分析，得到模型
用于對疫情進行分析.對上表的數據作初步處理，得到下面的一些統計量的值（部分數據已作近似處理）：
，
.根據相關數據，求該模型的回歸方程（結果精確到0.1），并依據該模型預測第10天新增確診人數.
（2）如果一位新型冠狀病毒的感染者傳染給他人的概率為0.3，在一次12人的家庭聚餐中，只有一位感染者參加了聚餐，記余下的人員中被感染的人數為
，求
最有可能（即概率最大）的值是多少.
附：對于一組數據
，
…，
，其回歸直線
的斜率和截距的最小二乘估計分別為
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】眾所周知，大型網絡游戲（下面簡稱網游）的運行必須依托于網絡的基礎上，否則會出現頻繁掉線的情況，進而影響游戲的銷售和推廣，某網游經銷在甲地區5個位置對兩種類型的網絡（包括“電信”和“網通”）在相同條件下進行游戲掉線的測試，得到數據如下：
位置 類型 | A | B | C | D | E |
電信 | 4 | 3 | 8 | 6 | 12 |
網通 | 5 | 7 | 9 | 4 | 3 |
（1）如果在測試中掉線次數超過5次，則網絡狀況為“糟糕”，否則為“良好”，那么在犯錯誤的概率不超過0.15的前提下，能否說明網絡狀況與網絡的類型有關？
（2）若該游戲經銷商要在上述接受測試的電信的5個地區中任選2個作為游戲推廣，求A，B兩地區至少選到一個的概率．
參考公式：
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知圓
，點
，
是圓上一動點，點
在線段
上，點
在半徑
上，且滿足
.
（1）當在圓上運動時，求點的軌跡
的方程；
（2）設過點
的直線
與軌跡交于點
（不在
軸上），垂直于的直線交于點
，與
軸交于點
，若
，求點橫坐標的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
為參數），在以坐標原點
為極點，
軸的正半軸為極軸的極坐標系中，點
的極坐標為
，直線
的極坐標方程為
．
（1）求直線的直角坐標方程與曲線的普通方程；
（2）若
是曲線上的動點，
為線段
的中點，求點到直線的距離的最大值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某企業新研發了一種產品，產品的成本由原料成本及非原料成本組成.每件產品的非原料成本
（元）與生產該產品的數量
（千件）有關，經統計得到如下數據：
根據以上數據，繪制了散點圖.
觀察散點圖，兩個變量不具有線性相關關系，現考慮用反比例函數模型
和指數函數模型
分別對兩個變量的關系進行擬合.已求得用指數函數模型擬合的回歸方程為
，
與的相關系數
.參考數據（其中
）：
（1）用反比例函數模型求關于的回歸方程；
（2）用相關系數判斷上述兩個模型哪一個擬合效果更好（精確到0.01），并用其估計產量為10千件時每件產品的非原料成本；
（3）該企業采取訂單生產模式（根據訂單數量進行生產，即產品全部售出）.根據市場調研數據，若該產品單價定為100元，則簽訂9千件訂單的概率為0.8，簽訂10千件訂單的概率為0.2；若單價定為90元，則簽訂10千件訂單的概率為0.3，簽訂11千件訂單的概率為0.7.已知每件產品的原料成本為10元，根據（2）的結果，企業要想獲得更高利潤，產品單價應選擇100元還是90元，請說明理由.
參考公式：對于一組數據
，
，…，
，其回歸直線
的斜率和截距的最小二乘估計分別為：
，
，相關系數
.
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