Question

已知雙曲線-=1（b∈N^*） 的兩個焦點為F₁、F₂，P是雙曲線上的一點，且滿足|PF₁|-|PF₂|=|F₁F₂|²，|PF₂|＜4，
（I）求b的值；
（II）拋物線y²=2px（p＞0）的焦點F與該雙曲線的右頂點重合，斜率為1的直線經過點F與該拋物線交于A、B兩點，求弦長|AB|．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用雙曲線的方程得到a，利用雙曲線的定義得到，||PF₁|-|PF₂||=4，將它與已知等式聯立得到關于|PF₂|的方程
由于|PF₂|＜4，所以該方程在（0，4）上有解，得到c的范圍從而得到b的范圍，據b是自然數，求出b的值．
（II）求出拋物線方程與直線方程，將直線方程與拋物線方程聯立，解方程組，求出交點坐標，利用兩點距離公式求出弦長|AB|．
解答：解（I）根據題意a²=4，即a=2，
又，a²+b²=c²，||PF₁|-|PF₂||=2a=4，
又|PF₁|•|PF₂|=|F₁F₂|²=4c²，|PF₂|＜4，得
|PF₂|²+4|PF₂|-4c²=0在區間（0，4）上有解，即4c²=|PF₂|²+4|PF₂|有解
又|PF₂|＜4，故|PF₂|²+4|PF₂|＜32
所以c²＜8
因此b²＜4，又b∈N^*，
所以b=1
（II）雙曲線方程為，
右頂點坐標為（2，0），即F（2，0）
所以拋物線方程為y²=8x （1）
直線方程為y=x-2 （2）
由（1）（2）兩式聯立，
解得和
所以弦長|AB|==16
點評：求圓錐曲線的方程，一般利用待定系數法；解決直線與圓錐曲線的位置關系問題，一般設出直線方程，將直線方程與圓錐曲線方程聯立，消去一個未知數，得到關于一個未知數的二次方程，利用韋達定理，找突破口．注意設直線方程時，一定要討論直線的斜率是否存在．