Question

【題目】已知函數.

（1）當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍；

（2）若有兩個極值點，，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析.

【解析】

（1）根據不等式構造函數，通過函數的導數，對a分類討論，分別求解函數的單調性及極值，求出滿足條件的實數a的取值范圍．

（2）求出x1x2，只需證明，不妨設x1＞x2，只需證明，令t（t＞1），原不等式轉化為lnt，結合（1）利用不等式的傳遞性證明即可．

（1）令，，，

令，

當時，，且對稱軸，

所以當時，，在上單調遞增，

所以恒成立，

當時，，可知必存在區間，使得，

當時，有，即在上單調遞減，由于，此時不合題意，綜上；

（2），令在有兩個不同的零點，

，若，則，不合題意；

若，設兩個零點分別為，則，

可得，

要證，即證，

即證，即證，

即證，即證，

令，即證

由（1）可得時，，

只需證，即證，

故原不等式得證.