Question

1．已知點A、B分別是左焦點為（-4，0）的橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右頂點，且橢圓C過點P（$\frac{3}{2}$，$\frac{5\sqrt{3}}{2}$）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知F是橢圓C的右焦點，以AF為直徑的圓記為圓M，過P點能否引圓M的切線？若能，求出這條切線與x軸及圓M的弦PF所對的劣弧圍成的圖形面積；若不能，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題設知a²=b²+16，$\frac{9}{4{a}^{2}}$+$\frac{75}{4{b}^{2}}$=1，由此能求出橢圓C的標準方程．
（2）由A（-6，0），F（4，0），（$\frac{3}{2}$，$\frac{5\sqrt{3}}{2}$），則得$\overrightarrow{AP}$=（$\frac{15}{2}$，$\frac{5\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{FP}$=（-$\frac{5}{2}$，$\frac{5\sqrt{3}}{2}$），所以$\overrightarrow{AP}$$•\overrightarrow{FP}$=0，以AF為直徑的圓M必過點P，因此，過P點能引出該圓M的切線，設切線為PQ，交x軸于Q點，又AF的中點為M（-1，0），則顯然PQ⊥PM，由此能求出所求的圖形面積．

解答 解：（1）由題意a²=b²+16，
$\frac{9}{4{a}^{2}}$+$\frac{75}{4{b}^{2}}$=1，
解得b²=20或b²=-15（舍），
由此得a²=36，
所以，所求橢圓C的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{20}$=1．（6分）
（2）由（1）知A（-6，0），F（4，0），
又（$\frac{3}{2}$，$\frac{5\sqrt{3}}{2}$），則得$\overrightarrow{AP}$=（$\frac{15}{2}$，$\frac{5\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{FP}$=（-$\frac{5}{2}$，$\frac{5\sqrt{3}}{2}$）．
所以$\overrightarrow{AP}$$•\overrightarrow{FP}$=0，即∠APF=90°，△APF是Rt△，
所以，以AF為直徑的圓M必過點P，因此，過P點能引出該圓M的切線，
設切線為PQ，交x軸于Q點，又AF的中點為M（-1，0），則顯然PQ⊥PM，
而k_PM=$\sqrt{3}$，所以PQ的斜率為-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
因此，過P點引圓M的切線方程為：y-$\frac{5\sqrt{3}}{2}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-$\frac{3}{2}$），即x+$\sqrt{3}$y-9=0．
令y=0，則x=9，∴Q（9，0），又M（-1，0），
所以S_扇形MPF=$\frac{1}{2}×5×5×\frac{π}{3}$=$\frac{25π}{6}$，
因此，所求的圖形面積是S=S_△PQM-S_扇形MPF=$\frac{75\sqrt{3}-25π}{6}$．

點評 本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．