Question

【題目】已知圓，點為直線上一動點，過點P引圓M的兩條切線，切點分別為A，B.

（1）若P的坐標為，求切線方程；

（2）求四邊形PAMB面積的最小值.

Answer 1

【答案】和;

【解析】

由題意知切線的斜率存在,設切線方程為,由圓心到直線的距離等于半徑求出斜率,代入切線方程即可;

設四邊形PAMB面積為,結合題意知,,求出切線長的最小值即可,結合勾股定理知,,即求線段的最小值,由點為,點為直線上一動點知,當線段與直線垂直時,取最小值,利用點到直線的距離公式求出的最小值即可.

由題意知切線的斜率存在,設切線方程為,

由點到直線的距離公式可得,點到直線的距離為

,解得或,

所以所求的切線方程為和;

設四邊形PAMB面積為,因為為圓的切線,

所以,即,

因為,所以,

即當取最小值時四邊形PAMB面積取得最小值,

因為,

所以當取最小值時取最小值,

因為點為,點為直線上一動點,

所以當線段與直線垂直時,取最小值,

由點到直線的距離公式可得,

的最小值為,

此時取最小值為,

所以四邊形PAMB面積的最小值為.