Question

已知非常數函數f（x）在上可導，當x∈（-∞，1]時，有（1-x）f'（x）≤0，且對任意x∈R都有f（1-x）=f（1+x），則不等式f（2-x）＞f（2x+1）的解集是

(-1，

1

3

)

．

Answer 1

分析：先由當x∈（-∞，1]時，有（1-x）f'（x）≤0，得到函數在x∈（-∞，1]上為增函數，再將變量轉化到區間x∈（-∞，1]，利用單調性解不等式，應注意函數的定義域．

解答：解：∵當x∈（-∞，1]時，有（1-x）f'（x）≤0，∴f'（x）≥0，∴函數在x∈（-∞，1]上為增函數
又f（1-x）=f（1+x），∴f（2-x）=f（x），
∴f（x）＞f（2x+1），∴

x≤1 2x+1≤1 x＞2x+1

，∴x≤0，
故答案為（-∞，0]

點評：本題主要考查利用導數研究函數的單調性，考查函數的對稱性，考查利用單調性解不等式，應注意函數的定義域．