Question

已知非常數函數f（x）=log_a

1+kx

1-x

（a＞0，且a≠1）
（1）若f（x）為奇函數，求k的值．
（2）若f（x）在x∈（1，+∞）上是增函數，求k的取值范圍．

Answer 1

（1）由于非常數函數f（x）=log_a

1+kx

1-x

（a＞0，且a≠1），若f（x）為奇函數，
則有f（-2）+f（2）=0，即 loga

1-2k

3

+loga

1+2k

-1

=loga

1-4k2

-3

=0，故有

1-4k2

-3

=1，解得k=-1，或k=1（舍去）．
（2）若f（x）在x∈（1，+∞）上是增函數，則函數f（x）的導數為 f′（x）=

1-x

1+kx

log_ae＞0．
當a＞1時，由題意可得x＞1時，

1-x

1+kx

＞0，可得 1+kx＜0，即 k＜

-1

x

，可得k＜-1．
當 0＜a＜1時，由題意可得x＞1時，

1-x

1+kx

＜0，可得 1+kx＞0，即 k＞

-1

x

，可得k≥0．