Question

若橢圓

x2

m

+

y2

9

=1 （m＞9）與雙曲線

x2

n

-

y2

9

=

1

（n＞0）有相同的焦點F₁、F₂，P是兩曲線的一個交點，則△F₁PF₂的面積是．

Answer 1

分析：由題意可得 m-9=n+9，不妨設點P是位于第一象限內的點，再由橢圓和雙曲線的定義可得 PF₁+PT₂=2

m

，PF₁-PT₂=2

n

．解得PF₁ 和PF₂ 的值，以及焦距F₁F₂ 的值，可得 F1F22=PF12+PF22，故有 PF₁⊥PF₂．由此求得△F₁PF₂的面積是

1

2

PF₁•PF₂=

1

2

（m-n）的值．

解答：解：由題意可得 m-9=n+9，故m=n+18．
不妨設點P是位于第一象限內的點，再由橢圓和雙曲線的定義可得 PF₁+PT₂=2

m

，PF₁-PT₂=2

n

．
解得PF₁=

m

+

n

，PF₂=

m

-

n

，∴PF12+PF22=2m+2n=4n+36．
由于焦距F₁F₂=2

n+9

，∴F1F22=4n+36=PF12+PF22，∴PF₁⊥PF₂．
故△F₁PF₂的面積是

1

2

PF₁•PF₂=

1

2

（m-n）=9．

點評：本題主要考查橢圓、雙曲線的定義及簡單性質的應用，屬于中檔題．