Question

已知函數f（x）=（ax²+bx+c）e^2-x在x=1處取得極值，且在點（2，f（2））處的切線方程為6x+y-27=0．
（1）求a，b，c的值；
（2）求函數f（x）的單調區間，并指出f（x）在x=1處的極值是極大值還是極小值．

Answer 1

分析：（1）求導函數，利用函數在x=1處取得極值，且在點（2，f（2））處的切線方程為6x+y-27=0，建立方程組，即可求得a，b，c的值；
（2）求導函數，由導數的正負，可得函數的單調性，從而可得函數的極值．

解答：解：（1）f′（x）=（2ax+b）e^2-x+（ax²+bx+c）e^2-x（-1）=[-ax²+（2a-b）x+（b-c）]e^2-x，…（4分）
由題意，

f′(1)=0 f′(2)=-6 f(2)=15

，即

[-a+(2a-b)+(b-c)]e1=0 [-4a+2(2a-b)+(b-c)]e0=-6 (4a+2b+c)e0=15

，
∴a=c=1，b=5；  …（8分）
（2）由（1）知，f（x）=（x²+5x+1）e^2-x，∴f′（x）=（-x²-3x+4）e^2-x=-（x+4）（x-1）e^2-x，…（10分）
令f′（x）＞0，得-4＜x＜1，f′（x）＜0，得x＜-4或x＞1，
∴函數f（x）的單調遞增區間為（-4，1），單調遞減區間為（-∞，-4）和（1，+∞）．…（13分）
由此可知，f（x）在x=1處的取值是極大值．       …（14分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的極值，切線的斜率，考查函數的單調性，正確求導是關鍵．