Question

如圖，已知橢圓的焦點為F₁，F₂，點P為橢圓上任意一點，過F₂作的外角平分線的垂線，垂足為點Q，過點Q作軸的垂線，垂足為N，線段QN的中點為M，則點M的軌跡方程為     。

Answer 1

分析：點F₂關于∠F₁PF₂的外角平分線PQ的對稱點Q′在直線F₁P的延長線上，故|F₁Q′|=|PF₁|+|PF₂|=2a（橢圓長軸長），又OQ是△F2F1Q′的中位線，故|OQ|=a，由此可以求點M的軌跡方程．
解：點F₂關于∠F₁PF₂的外角平分線PQ的對稱點Q′在直線F₁P的延長線上，故|F₁Q′|=|PF₁|+|PF₂|=2a（橢圓長軸長），
又OQ是△F2F1Q′的中位線，故|OQ|=2，
設M（x，y），則Q（2x，y），
所以有4x²+y²=4，
故答案為+x²=1．