Question

已知函數．

（Ⅰ）求函數的單調區間；

（Ⅱ）若，求在區間上的最大值；

（III）設函數，（），試討論函數與圖象交點的個數

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）∵，其定義域為．                 1分

∴．                   （2分）

∵，∴當時，；當時，．

故函數的單調遞增區間是；單調遞減區間是．         （4分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函數的單調遞增區間是；單調遞減區間是．

當時，在區間上單調遞增，的最大值；

當時，在區間上單調遞增，在上單調遞減，則在處取得極大值，也即該函數在上的最大值，此時的最大值；

∴在區間上的最大值…………………（8分）

（Ⅲ）討論函數與圖象交點的個數，即討論方程在上根的個數．

該方程為，即．

只需討論方程在上根的個數， ……………………（9分）

令，．

因，，令，得，

當時,；當時,．  ∴，

當時,； 當時,， 但此時，且以軸為漸近線．

如圖構造的圖象，并作出函數的圖象．

①當即時，方程無根，沒有公共點；

②當即時，方程只有一個根，有一個公共點；

③當即時，方程有兩個根，有兩個公共點．

【解析】(I)直接求導，根據導數大于零和小于零，求其增減區間即可.

（II）在第（I）問的基礎上對a進行討論求極值，最值.

（III）可以構造函數,然后利用導數研究其圖像特征，作出草圖，然后數形結合求解.