Question

已知圓的方程 x²+y²-4x+2y+1=0，過點P（3，2）向圓引兩條切線，切點為P₁，P₂．求過P₁、P₂兩點且到Q（-5，0）的切線長

6

的圓的方程？

Answer 1

考點：圓的切線方程

專題：直線與圓

分析：由題意求出圓心坐標和半徑，由切線的性質得P₁、P₂在以PC為直徑的圓上，求出此圓的方程，將兩圓方程相減得公共弦P₁P₂所在直線方程，設過P₁、P₂兩點圓的方程是：x²+y²-4x+2y+1+λ（x+3y-4）=0，根據切線長公式列出方程，求出λ的值，代入圓的方程化簡即可．

解答： 解：由x²+y²-4x+2y+1=0得，（x-2）²+（y+1）²=4，
所以圓心C（2，-1），半徑為2，
因為過點P（3，2）向圓引兩條切線，切點為P₁，P₂，
所以P₁P⊥P₁C，P₂P⊥P₂C，即P₁、P₂在以PC為直徑的圓上，
又點P（3，2），則PC的中點A為（

5

2

，

1

2

），|PC|=

10

，
則以PC為直徑的圓的方程是(x-

5

2

)2+(y-

1

2

)2=(

10

2

)2，
即x²+y²-5x-y+4=0，①
又x²+y²-4x+2y+1=0，②
①-②得，-x-3y+3=0，則P₁P₂所在直線方程是：x+3y-4=0，
設過P₁、P₂兩點圓的方程是：x²+y²-4x+2y+1+λ（x+3y-4）=0
即x²+y²+（λ-4）x+（2+3λ）y+1-4λ=0，③
所以圓心坐標是（-

λ-4

2

，-

3λ+2

2

），半徑的平方r²=4λ-1+(

λ-4

2

)2+(

3λ+2

2

)2，
因為過Q（-5，0）的切線長

6

，
所以6+4λ-1+(

λ-4

2

)2+(

3λ+2

2

)2=(-5+

λ-4

2

)2+(-

3λ+2

2

)2，
化簡解得，λ=

40

9

，代入③得，x²+y²+

4

9

x+

46

3

y-

151

9

=0，
所以所求的圓的方程是：x²+y²+

4

9

x+

46

3

y-

151

9

=0．

點評：本題考查圓的切線的性質，兩圓相交時公共弦所在直線方程，圓系方程的靈活應用，以及切線長公式，考查化簡計算能力．