Question

（坐標系與參數方程選做題）在直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為

x=t y=4+t

（t為參數），以原點O為極點，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標，曲線C的極坐標方程為ρ=4

2

sin(θ+

π

4

)，則直線l和曲線C的公共點有

1

個．

Answer 1

分析：把參數方程化為普通方程，得到方程表示一條直線．把曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程，表示一個圓．圓心到直線的距離等于半徑，可得直線和圓相切，從而得到結論．

解答：解：把直線l的參數方程

x=t y=4+t

（t為參數），消去參數化為直角坐標方程為 x-y+4=0，表示一條直線．
曲線C的極坐標方程為ρ=4

2

sin(θ+

π

4

)，即 ρ²=4

2

ρ（

2

2

sinθ+

2

2

cosθ），即 x²+y²=4y+4x，
即 （x-2）²+（y-2）²=8，表示以（2，2）為圓心，以r=2

2

為半徑的圓．
圓心到直線的距離等于 d=

|2-2+4|

2

=2

2

=半徑r，故直線和圓相切，故直線l和曲線C的公共點的個數為 1，
故答案為 1．

點評：本題主要考查把參數方程化為普通方程的方法，把極坐標方程化為直角坐標方程的方法，點到直線的距離公式的應用，直線和圓的位置關系的判定，屬于基礎題．