Question

已知函數f(x)=

1+ln(x+1)

x

和g（x）=x-1-ln（x+1）
（I）函數y=f（x）在區間（0，+∞）上是增函數還是減函數？說明理由；
（II）求證：函數y=g（x）在區間（2，3）上有唯一零點；
（III）當x＞0時，不等式xf（x）＞kg'（x）恒成立，其中g'（x）是g（x）導函數，求正整數k的最大值．

Answer 1

分析：（I）先求導函數f′(x)=

1

x2

[

x

x+1

-1-ln(x+1)]=

-1

x2

[

1

x+1

+ln(x+1)]，可以判斷f'（x）＜0，從而函數f（x）在區間（0，+∞）上是減函數；
（II）可以證明g（x）在（2，3）上是增函數，再利零點存在定理即可證明；
（III）利用分離參數法得k＜

(x+1)[1+ln(x+1)]

x

，再求其最值即可．

解答：解：（I）函數f（x）在區間（0，+∞）上是減函數．
由于f′(x)=

1

x2

[

x

x+1

-1-ln(x+1)]=

-1

x2

[

1

x+1

+ln(x+1)]…（2分）
∵x＞0，∴x2＞0，

1

x+1

＞0，ln(x+1)＞0
所以f'（x）＜0故函數f（x）在區間（0，+∞）上是減函數．…（4分）
（II）因為g′(x)=1-

1

x+1

=

x

x+1

＞0
所以g（x）在（2，3）上是增函數…（6分）
又g（2）=1-ln3＜0，g（3）=2-ln4=2（1-ln2）＞0
所以，函數y=g（x）在區間（2，3）上有唯一零點．…（8分）
（III）當x＞0時，不等式xf（x）＞kg'（x）恒成立
即k＜

(x+1)[1+ln(x+1)]

x

對于x＞0恒成立
設h(x)=

(x+1)[1+ln(x+1)]

x

，則h′(x)=

x-1-ln(x+1)

x2

…（9分）
由（II）知g（x）=x-1-ln（x+1）在區間（0，+∞）上是增函數，
且g（x）=0存在唯一實數根a，滿足a∈（2，3），即a=1+ln（a+1）…（10分）
由x＞a時，g（x）＞0，h'（x）＞0；0＜x＜a時，g（x）＜0，h'（x）＜0
知h（x）（x＞0）的最小值為h(a)=

(a+1)[1+ln(a+1)]

a

=a+1∈(3，4)
故正整數k的最大值為3．…（12分）

點評：本題主要考查利用導數研究函數的單調性，利用分離參數法求解恒成立問題，有一定的綜合性．