Question

圓C通過不同的三點P（k，0）、Q（2，0）、R（0，1），已知圓C在點P處的切線斜率為1，試求圓C的方程．

Answer 1

分析：利用待定系數法，我們先設出圓C的一般方程，結合圓C通過不同的三點P（k，0）、Q（2，0）、R（0，1），我們易求出圓的方程（含參數k），又由圓C在點P處的切線斜率為1，結合切線與過切點的半徑垂直，我們易構造關于k的方程，解方程即可求出k值，進而得到圓C的方程．

解答：解：設圓C的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
則k、2為x²+Dx+F=0的兩根，
∴k+2=-D，2k=F，
即D=-（k+2），F=2k，
又圓過R（0，1），故1+E+F=0．
∴E=-2k-1．
故所求圓的方程為
x²+y²-（k+2）x-（2k+1）y+2k=0，
圓心坐標為（

k+2

2

，

2k+1

2

）．
∵圓C在點P處的切線斜率為1，
∴k_CP=-1=

2k+1

2-k

，∴k=-3．∴D=1，E=5，F=-6．
∴所求圓C的方程為x²+y²+x+5y-6=0．

點評：本題考查的知識點是圓的一般方程，求圓的方程最常用的辦法是待定系數法，即先設出方程，再利用其它已知條件，構造方程組，解方程組求出各參數，即可得到圓 的一般方程．