Question

設等差數列{a_n}的前n項和為S_n，已知（a₂-1）³+2012（a₂-1）=1，（a₂₀₁₁-1）³+2012（a₂₀₁₁-1）=-1則下列結論正確的是（　　）

A．S₂₀₁₂=2012，a₂₀₁₁＜a₂

B．S₂₀₁₂=2012，a₂₀₁₁＞a₂

C．S₂₀₁₂=2012，a₂₀₁₁≤a₂

D．S₂₀₁₂=2012，a₂₀₁₁≥a₂

Answer 1

分析：根據等式，構造函數，求導函數，可知函數是單調遞增的，再利用函數的單調性即等差數列的求和公式，即可得到結論．

解答：解：根據（a₂-1）³+2012（a₂-1）=1，（a₂₀₁₁-1）³+2012（a₂₀₁₁-1）=-1，
構造函數f（x）=x³+x，由于函數f（x）=x³+x是奇函數，由條件有f（a₂-1）=1，f（a₂₀₁₁-1）=-1．
求導函數可得：f′（x）=3x²+1＞0，所以函數f（x）=x³+x是單調遞增的，而f（1）=2＞1=f（a₂-1），即a₂-1＜1，解得a₂＜2．
∵f（a₂-1）=1，f（a₂₀₁₁-1）=-1，∴a₂-1＞a₂₀₁₁-1，a₂-1=-（a₂₀₁₁-1），∴a₂＞0＞a₂₀₁₁，a₂+a₂₀₁₁=2，
∴S₂₀₁₂=

a1+ a2012

2

×2012=2012．
又S₂₀₁₁=S₂₀₁₂-a₂₀₁₂=2012-（2-a₂+d）=2010+a₁＞a₁+a₂=S₂ ．
綜上知，S₂₀₁₂=2012，且a₂₀₁₁＜a₂ ，
故選A．

點評：本題考查函數與方程的思想，綜合考查函數的奇偶性、單調性、等差數列的通項公式、等差數列性質、等差數列求和公式以及函數與方程的思想，轉化與化歸思想，屬于基礎題．